Разбор по составу:
рассмешить
Части слова (морфемы):
- рас — префикс (приставка)
- сме — корень
- ш, и, ть — суффиксы
- окончание отсутствует
Основа слова: рассмеши
ТЬ — это формообразующий суффикс. Он не входит в основу слова, но его можно выделить как окончание (обозначение зависит от программы обучения).