Разбор по составу:
остынуть
Части слова (морфемы):
- о — префикс (приставка)
- сты — корень
- ну, ть — суффиксы
- окончание отсутствует
Основа слова: остыну
ТЬ — это формообразующий суффикс. Он не входит в основу слова, но его можно выделить как окончание (обозначение зависит от программы обучения).