Разбор по составу:
мурлыкать
Части слова (морфемы):
- мур — корень
- лы, ка, ть — суффиксы
- окончание отсутствует
Основа слова: мурлыка
ТЬ — это формообразующий суффикс. Он не входит в основу слова, но его можно выделить как окончание (обозначение зависит от программы обучения).