Разбор по составу:
затеять
Части слова (морфемы):
- зате — корень
- я, ть — суффиксы
- окончание отсутствует
Основа слова: затея
ТЬ — это формообразующий суффикс. Он не входит в основу слова, но его можно выделить как окончание (обозначение зависит от программы обучения).