Разбор по составу:
завоёвывать
Части слова (морфемы):
- за — префикс (приставка)
- воёв — корень
- ыва, ть — суффиксы
- окончание отсутствует
Основа слова: завоёвыва
ТЬ — это формообразующий суффикс. Он не входит в основу слова, но его можно выделить как окончание (обозначение зависит от программы обучения).